Por ejemplo, tabular datos para la expresión 𝑦 = 2𝑥 + 3

Construir la gráfica de la expresión 𝑧 = 3𝑡 2 + 1

Cuando se tiene una función que es una variable a una determinada potencia, la derivada de dicha función es igual a producto de la potencia por la variable elevada a esa potencia reducida en 1. 

Es decir: 

Derivada de una constante

Si la función a derivar es una constante, entonces, al ser derivada un análisis del cambio, su valor es igual a cero ya que una constante no experimenta cambio en su valor.

Es decir, si K es constante: 

Derivada de una constante por una función

Cuando se quiere encontrar la derivada del producto de una función multiplicada por una constante, el resultado es el producto de la constante por la derivada de una función. 

Es decir, si K es una constante:

Derivada de una suma de funciones

Cuando se quiere encontrar la derivada de una suma de funciones, el resultado es la suma de las derivadas individuales de cada sumado

Es decir:

Regla de la Cadena

Si la función a derivar está elevada a una potencia, la derivada de la función es el producto de la potencia por la función elevada a dicha potencia reducida en uno, por la derivada de la función.

Es decir

Regla del Producto

Si  se desea encontrar la derivada de un producto de funciones, puede realizarse la multiplicación y después derivar el resultado, si no es posible realizar el producto se aplica la regla que establece que la derivada es igual a la derivada de la primera función por la segunda más la derivada de la segunda función por la primera.

Es decir

Regla del Cociente

Si se desea encontrar la derivada de un cociente de funciones, siempre que el denominador no sea cero, el resultado será, la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, todo dividido entre el cuadrado del denominador.

Es decir

Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Recordemos que una función exponencial es aquella en la cual una cantidad constante a la que
llamaremos base se encuentra elevada a una potencia variable.

Las funciones exponenciales tienen una utilidad muy amplia al ser fundamentales en la descripción de muchos fenómenos de la naturaleza, como lo son la intensidad de las ondas sísmicas o escala Richter (lo cual indica que un sismo de magnitud 2 no es el doble de la magnitud de un sismo de magnitud 1); la capacidad de procesamiento y almacenamiento de los equipos y sistemas de cómputo se basa en una función exponencial de base 2 (por ello lo de código binario) y en muchos
modelos de crecimiento poblacional o control de temperaturas aparece la constante e=2.71 como base de la función exponencial (adquiriendo el nombre de función exponencial natural). Para obtener la derivada de una función exponencial se debe multiplicar la función original por la derivada del exponente por el logaritmo natural de la base, es decir:

De manera que, al sustituir según la formula, obtenemos que:

Las funciones logarítmicas fueron desarrolladas como complemento de las funciones exponenciales. En su definición más simple consisten en la búsqueda de un valor al cual debemos elevar una constante para obtener un número específico. Al número que queremos elevar se le llama base, mientras que el valor al cual queremos llegar se le llama argumento de la función.El logaritmo de cualquier base se escribe como:

Al derivar una función logarítmica obtenemos como resultado una división, en el numerador se coloca la derivada del argumento y en el denominador el argumento original multiplicado por el logaritmo natural de la base, es decir:

Derivación implícita

Ya establecimos que las variables pueden ser independientes o dependientes, ahora bien, hasta el momento hemos analizado funciones donde está bien definido
cual es la variable independiente y cual es la variable dependiente. La cuestión es ¿Qué ocurre con las funciones donde no es posible identificar la variable
dependiente? Por ejemplo:

Podemos realizar los siguientes despejes:

De manera que podemos expresar que cualquiera de las dos variables puede comportarse como dependiente o independiente, dependiendo de las circunstancias o
necesidades del problema. En esas situaciones, solo se debe establecer quien juega el papel de variable dependiente y quien el de variable independiente, considerando que cada vez que se derive la variable dependiente es necesario usar una regla de la cadena, por ejemplo:

Podemos encontrar la derivada de 𝑦 con respecto a 𝑥, es decir:

Derivamos aplicando los teoremas conocidos

Pero debemos recordar que se estableció que 𝑦 depende de 𝑥, por ello tenemos que aplicar la regla de la cadena a cada derivada de 𝑦, es decir:
La regla de la cadena establece que: 𝐷𝑥𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1𝑢′
Para estos casos cambiamos u por y, de manera que la regla de la cadena nos queda como: 𝐷𝑥𝑦𝑛 = 𝑛𝑦𝑛−1𝑦′

Agrupamos términos, todos los que tienen 𝑦′a la izquierda y el resto a la derecha

En la izquierda podemos obtener 𝑦′ como factor común

Con un simple despeje, podemos encontrar el valor de 𝑦′

Podemos repetir el procedimiento para encontrar la derivada de 𝑥 con respecto a 𝑦, es decir

En este caso se establece que 𝑥 depende de 𝑦, por ello tenemos que aplicar la regla de la cadena a cada derivada de 𝑥, es decir:

La regla de la cadena establece que: 𝐷𝑥𝑢𝑛 = 𝑛𝑢𝑛−1𝑢′
Para estos casos cambiamos 𝑢 por 𝑥, de manera que la regla de la cadena nos queda como: 𝐷𝑦𝑥𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1𝑥′

Agrupamos términos, todos los que tienen 𝑥′a la izquierda y el resto a la derecha

En la izquierda podemos obtener x′ como factor común

Con un simple despeje, podemos encontrar el valor de 𝑥′

Si comparamos ambas soluciones: