Consideremos la integral:

Por la naturaleza de los exponentes, no es posible integrarla como una trigonométrica inversa. Y no tenemos a disposición una formula para integrar directamente, así que debemos buscar una alternativa que nos permita simplificar o expresar la integral en una forma que la podamos resolver.
Para este tipo de problemas, que involucran una raíz y no podemos resolver con una sustitución simple, recurriremos al teorema de Pitágoras.

Donde:
• c es la hipotenusa
• a es el cateto 1 (horizontal)
• b es el cateto 2 (vertical)
Nota: otros textos pueden invertir el orden de los catetos, lo cual no afecta el procedimiento.
Bien, de la ecuación del teorema de Pitágoras, podemos obtener el valor de la hipotenusa o de alguno de los catetos, al
realizar un despeje, es decir:

En el caso de nuestra integral

El radical es √(9𝑥2 − 16), por la operación de resta, podemos decir que es uno de los catetos, es decir:

De manera que podemos identificar el cuadrado de la hipotenusa y del otro cateto como:

𝑐²=9x²   b²=16

Entonces:                                                                                                                   Entonces:

c=3x                                                                                                                              b=4

La hipotenusa y su cuadrado son los valores                                        Los catetos son valores menores que la hipotenusa, en las restas siempre son el negativo.
mas grandes, siempre son los positivos en las
restas.

Podemos representarlo en un triángulo rectángulo:

Despejando la 𝑥:

Y usando la identidad 1/sin θ= csc θ

Tenemos que el valor de x es: 

Al sustituir ambos resultados en la integral original obtenemos:

Las constantes pueden salir fuera de la integral y elevamos al cuadrado la cosecante y el coeficiente:

El 9 que multiplica la cosecante se elimina con el denominador:

Obtenemos el 16 como factor común:

De la identidad Pitagórica despejamos cotangente y sustituimos, además obtenemos la raíz de 16:

Podemos eliminar la raíz con el cuadrado de la cotangente y cancelar el cuatro con el cuarto:

Eliminar una cotangente del numerador con una del denominador:

Usamos las identidades, reciproca para cosecante y de cociente para cotangente:

Aplicamos el teorema de estricción (sándwich):

Eliminamos los senos cuadrados:

Aplicamos identidad reciproca para coseno

La integral de una secante cuadrada produce una tangente:

Pero una tangente es el cateto opuesto entre el adyacente:

El resultado final es:

Integración por partes

Cuando dentro del integrando tenemos una multiplicación de funciones que no podemos simplificar por una sustitución simple, por ejemplo:

Una opción es darle forma

Es decir, diremos que una de las funciones del integrando ya está completa y la otra corresponde al diferencial (derivada) de la otra función.
Existen diferentes criterios para seleccionar quien es la función u y quien es el diferencial 𝑑𝑣, como lo es la regla ILATE (anexada en el formulario).

Una forma simple de visualizarlo es considerar que u debe ser fácil de derivar mientras que el diferencial debe ser fácil de integrar y como este
proceso puede ser muy complicado con la función equivocada, nos debemos centrar en la elección del diferencial.

Para el caso en cuestión, si asignamos

Sustituimos dejando la ecuación:

Repetiremos el procedimiento para la integral:

La nueva integral también es un producto de funciones que no podemos resolver con una sustitución simple, por lo cual debemos repetir el método de integración por partes, pero ahora la asignación de u y dv se hace a partir de la elección anterior, es decir, en el paso anterior la función u fue una función trigonométrica, en este paso debe serlo de nuevo, lo mismo ocurre con el diferencial, si no aparece una función parecida, debe tenerse cuidado con la selección pues, podríamos regresar a la integral original.
Para el caso de la integral: 

Podemos notar que el problema se complica a cada paso si continuamos por este camino
Sabemos que el objetivo de los métodos de integración (y los métodos matemáticos en general) consiste en simplificar el problema, y en el caso anterior el problema no se ha simplificado, solo continúa aumentando su dificultad.
Regresemos al inicio del problema, donde asignamos u y dv por primera vez, en esta ocasión invirtamos la selección, es decir:

Sustituimos usando la ecuación

Pareciera en primera instancia que no se ha logrado nada, pero podemos notar que el exponente de la x se ha reducido, lo cual implica que si repetimos el procedimiento para la nueva integral, podríamos reducir su exponente de nuevo.
Repetiremos el procedimiento para la integral:

Podemos simplificar el proceso, destacando que, u siempre se derivara en cada ocasión que se repita el método de integración por partes, hasta un punto en que se vuelve constante y su ultima derivada es cero, por lo cual, dv se integrara la misma cantidad de veces, es decir:

Como la fórmula de integración por partes:

Implica el producto 𝑢𝑣 multiplicaremos el primer elemento de la primera columna por el segundo de la segunda columna y repetiremos con los elementos siguientes, es decir:

Tendríamos al sumar los términos que e resultado de la integral es:

Si comparamos contra la integral resultante:

Podemos notar que los términos pares (2, 4, 6, …) tienen el signo diferente, para compensar esto en el proceso de tabulación, podemos agregar
una columna, es decir:
Implica el producto 𝑢𝑣 multiplicaremos el primer elemento de la primera columna por el segundo de la segunda columna y repetiremos con los
elementos siguientes, es decir:

Y al sumar obtenemos el resultado correcto de la integral